Aprendendo equações diferenciais parciais emergentes em um espaço emergente aprendido

Dec 20, 2023

Nature Communications volume 13, número do artigo: 3318 (2022) Citar este artigo

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Propomos uma abordagem para aprender equações de evolução efetivas para grandes sistemas de agentes em interação. Isto é demonstrado em dois exemplos, um sistema bem estudado de osciladores de forma normal acoplados e um exemplo biologicamente motivado de neurônios acoplados do tipo Hodgkin-Huxley. Para tais tipos de sistemas não há coordenadas espaciais óbvias nas quais se possa aprender leis de evolução efetivas na forma de equações diferenciais parciais. Em nossa abordagem, conseguimos isso aprendendo as coordenadas de incorporação dos dados da série temporal do sistema, usando o aprendizado múltiplo como uma primeira etapa. Nessas coordenadas emergentes, mostramos então como podemos aprender equações diferenciais parciais efetivas, usando redes neurais, que não apenas reproduzem a dinâmica do conjunto de osciladores, mas também capturam as bifurcações coletivas quando os parâmetros do sistema variam. A abordagem proposta integra, assim, a extração automática e orientada por dados de coordenadas espaciais emergentes que parametrizam a dinâmica do agente, com a identificação assistida por aprendizado de máquina de uma descrição PDE emergente da dinâmica nesta parametrização.

Modelar o comportamento dinâmico de grandes sistemas de agentes em interação continua sendo um problema desafiador na análise de sistemas complexos. Devido à grande dimensão do espaço de estados de tais sistemas, tem sido historicamente um objetivo de pesquisa contínuo construir modelos úteis de ordem reduzida com os quais descrever coletivamente a dinâmica de granulação grossa dos conjuntos de agentes. Essas descrições coletivas grosseiras surgem em muitos contextos, por exemplo, na termodinâmica, onde as partículas em interação podem ser efetivamente descritas no nível macroscópico por temperatura, pressão e densidade; ou na teoria cinética, onde colisões na equação de Boltzmann podem levar a descrições contínuas, como as equações de Navier-Stokes - mas também em contextos como quimiotaxia ou fluxos granulares. Uma questão importante nesta granulação grossa é encontrar observáveis ​​de granulação grossa (campos de densidade, campos de momento, campos de concentração, campos de fração de vazio) que descrevam a evolução do comportamento coletivo no espaço físico. Modelos macroscópicos eficazes são então frequentemente aproximados como equações diferenciais parciais (PDEs) para esses campos: suas derivadas temporais são expressas localmente em termos das derivadas espaciais locais do(s) campo(s) em cada ponto. Os fechamentos necessários para derivar modelos preditivos podem ser obtidos matematicamente (com suposições apropriadas) e/ou semiempiricamente por meio de observações experimentais ou computacionais.

Quando os agentes interagentes são sistemas osciladores acoplados, a sua dinâmica de baixa dimensão observada pode por vezes ser descrita como um sistema concentrado de algumas equações diferenciais ordinárias (EDOs) em termos dos chamados parâmetros de ordem . Para grandes sistemas heterogêneos de osciladores interativos observamos, em qualquer momento, uma distribuição de estados do oscilador; ser capaz de descrever esta evolução de forma útil por meio de algumas EDOs para parâmetros de ordem apropriados corresponde, conceitualmente, a descrever a evolução da distribuição através de um conjunto finito e fechado de algumas equações de momento para a distribuição. Os poucos parâmetros de boa ordem são aqui fornecidos pelos poucos momentos iniciais em termos dos quais um conjunto fechado de EDOs de modelo (ou mesmo equações diferenciais estocásticas) pode ser escrito. E embora em alguns casos tal descrição reduzida possa ser bastante bem-sucedida há outros casos em que algumas EDOs não serão suficientes e onde é necessário escrever equações de evolução (por exemplo, EDPs) para campos evolutivos de comportamento do oscilador instantâneo( e).

A questão surge então naturalmente: Qual é uma boa maneira de parametrizar o suporte espacial desta distribuição evolutiva de comportamentos? Quais (e quantas) são as poucas variáveis ​​espaciais independentes, em cujo espaço tentaremos derivar modelos evolutivos de EDP para a evolução do comportamento coletivo? Em outras palavras, quando o problema não evolui no espaço físico (por exemplo, quando os osciladores são nós em uma rede em interação), existe um espaço útil de incorporação contínua no qual podemos observar o comportamento evoluindo como um campo espaço-temporal? E se sim, como podemos detectar este espaço emergente e suas coordenadas independentes parametrizantes de uma forma orientada por dados, com base em observações da coleção de dinâmicas de agentes acoplados individuais? Nossa tarefa tem, portanto, dois componentes, ambos realizados aqui de maneira orientada por dados: (a) encontrar coordenadas espaciais emergentes nas quais o comportamento do oscilador possa ser (incorporado e) observado como uma evolução suave do campo espaço-temporal; e (b) uma vez obtidas estas coordenadas emergentes, aprender um modelo da dinâmica evolutiva, se possível na forma de uma equação diferencial parcial que rege este campo; isto é, aproxime as derivadas temporais (pontuais) do(s) campo(s) em termos de algumas derivadas espaciais locais do campo nas variáveis ​​independentes emergentes.